ตำราคณิตศาสตร์ 2 (Math 2) ฉบับสมบูรณ์ — TCAS/A-Level (สังเคราะห์ 2026-08-25)

สังเคราะห์จาก `math2/facts/*.md` ทั้งหมด 8 ไฟล์ (คณิตศาสตร์ประยุกต์ 2 / พื้นฐาน)

ระดับ: TCAS A-Level 62 · ม.4-6 · เน้นนิยาม+สูตร+จุดที่ออกสอบจริง (audit เทียบ past paper TCAS 65/68/69)

สารบัญ

1. เซต

2. ตรรกศาสตร์

3. ฟังก์ชัน

4. เลขยกกำลัง

5. ลำดับและอนุกรม

6. ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน

7. ความน่าจะเป็น (หลักการนับ + จัดหมู่/เรียงสับเปลี่ยน)

8. สถิติ

บทที่ 1: เซต (Sets)

• นิยาม: เซต = กลุ่มสิ่งของที่ระบุได้ว่าอะไรอยู่ใน/ไม่อยู่ · $a\in A$ (เป็นสมาชิก) · $a\notin A$ (ไม่เป็นสมาชิก)
• วิธีเขียน: แจกแจง $\{1,2,3,\dots,9\}$ (ห้ามซ้ำ) · บอกเงื่อนไข $\{x\mid \text{เงื่อนไข}\}$
• เซตว่าง $\varnothing$ · เอกภพสัมพัทธ์ $U$ (ถ้าไม่ระบุ → $U=\mathbb{R}$) · $\mathbb{N}$ จำนวนนับ, $\mathbb{Z}$ จำนวนเต็ม, $\mathbb{R}$ จำนวนจริง
• เซตเท่ากัน $A=B$: สมาชิกตรงกันหมด (ลำดับไม่มีผล) · สับเซต $A\subset B$: ทุกตัวของ A อยู่ใน B · $\varnothing\subset A$ เสมอ · $A\subset A$ เสมอ
• การดำเนินการ 2 เซต:
• อินเตอร์เซกชัน $A\cap B$ = อยู่ในทั้งคู่ · ยูเนียน $A\cup B$ = อยู่ในตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งคู่
• ผลต่าง $A-B$ = อยู่ใน A แต่ไม่อยู่ B · 🎯 ไม่สลับที่ ($A-B \neq B-A$)
• การนับจำนวนสมาชิก (หลัก): $n(A\cup B) = n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ · disjoint: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$
• 🎯 สับสน $\in$ (สมาชิก) กับ $\subset$ (สับเซต) เป็นจุดพลาดบ่อย

1.1 โจทย์ 3 เซต (สัญลักษณ์/แผนภาพ — ไม่ใช่นับจำนวน)

• math2 ไม่ออก นับจำนวนสมาชิก 3 เซตด้วย inclusion-exclusion เชิงตัวเลข
• แต่ออกโจทย์ 3 เซตแบบอ่านแผนภาพเวนน์ / เอกลักษณ์เซต / set-builder ทุกปี (TCAS65 ข้อ1, 68 ข้อ2, 69 ข้อ2)
• ใช้แค่นิยาม union/intersection/difference เดิม ผสม 3 ตัวแปร — ไม่ต้องรู้สูตร inclusion-exclusion 3 เซต

บทที่ 2: ตรรกศาสตร์ (Logic)

• ประพจน์ = ข้อความที่บอกจริง/เท็จได้อย่างเดียว · คำถาม/คำสั่ง/มีตัวแปรไม่ระบุค่า = ไม่ใช่ประพจน์
• ตัวเชื่อม (ตารางค่าความจริง):

• ลำดับ: $\sim$ ก่อน → $\wedge,\vee$ → $\to$ → $\leftrightarrow$
• เทคนิคไล่ย้อนค่าความจริง (หัวใจ math2): กำหนดประพจน์ประกอบ "เป็นจริง" มา แล้วไล่ย้อนหาค่า $p,q,r$ — จุดเริ่มที่ทรงพลังสุดคือ $p\vee q$ เท็จ (บังคับทั้งคู่เท็จ) และ $p\to q$ เท็จ (บังคับเหตุจริงผลเท็จ)
• สัจนิรันดร์ (tautology) = จริงทุกกรณี · ตรวจด้วยวิธีหาข้อขัดแย้ง: สมมติเท็จแล้วไล่ย้อน — ถ้าตัวแปรต้องเป็นทั้ง T และ F พร้อมกัน → เป็นสัจนิรันดร์
• แปลไทย→สัญลักษณ์: "และ"→$\wedge$, "หรือ"→$\vee$, "ถ้า…แล้ว"→$\to$, "ก็ต่อเมื่อ"→$\leftrightarrow$, "ไม่"→$\sim$ · 🎯 ระวังสลับเหตุ-ผล และปฏิเสธที่แฝงในประโยค ("ไม่ขาดเรียน" = $\sim q$)
• 🎯 math2 ไม่มีตัวบ่งปริมาณ $\forall,\exists$ / ประโยคเปิด / ชื่อ formal fallacy (Modus Ponens ฯลฯ) — ต่างจาก math1

บทที่ 3: ฟังก์ชัน (Functions)

• ผลคูณคาร์ทีเซียน $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A, b\in B\}$ · ความสัมพันธ์ = สับเซตของ $A\times B$ · โดเมน = ตัวหน้า · เรนจ์ = ตัวหลัง
• ฟังก์ชัน: $x$ หนึ่งค่า → $y$ หนึ่งค่าเท่านั้น · vertical line test (เส้นขนาน Y ตัดกราฟ ≤1 จุด) · $y^2=x$ ไม่เป็นฟังก์ชัน
• โดเมน: เศษส่วน → ตัวส่วน $\neq 0$ · กรณฑ์คู่ → ใต้กรณฑ์ $\ge 0$ · มีทั้งคู่ → หา intersection
• ตัวอย่าง $f(x)=\frac{\sqrt{2-x}}{x}$ → $D=(-\infty,2]-\{0\}$
• เรนจ์: พิจารณารูปแบบ/กราฟ · $f(x)=-2x^2\to(-\infty,0]$ · $\frac1x\to\mathbb{R}-\{0\}$ · $\sqrt x\to[0,\infty)$
• โดเมนช่วงปิด → แทนค่าปลายทั้งสอง (ถ้าเชิงเส้น) · ไม่เชิงเส้นต้องเช็คจุดวิกฤต/เส้นกำกับก่อน
• Vertex form $f(x)=k(x-h)^2+m$ → จุดยอด $(h,m)$ โดยตรง
• กราฟพื้นฐาน: เชิงเส้น $ax+b$ (เส้นตรง) · กำลังสอง $ax^2+bx+c$ (พาราโบลา $a>0$ หงาย) · $|x-h|+k$ (ตัว V จุดหักมุม $(h,k)$) · ขั้นบันได (piecewise ค่าคงที่ช่วงๆ)
• จุดตัดแกน Y: แทน $x=0$ (ได้จุดเดียว) · จุดตัดแกน X: ให้ $y=0$ (ได้หลายจุด)

บทที่ 4: เลขยกกำลัง (Exponents)

• $a^n$ = คูณ $a$ กัน $n$ ตัว · $a^0=1$ ($a\neq0$) · $a^{-n}=\frac1{a^n}$
• กฎ 5 ข้อ: $a^m a^n=a^{m+n}$ · $(a^m)^n=a^{mn}$ · $(ab)^n=a^nb^n$ · $(\frac ab)^n=\frac{a^n}{b^n}$ · $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• ราก: $\sqrt x$ = รากบวกเสมอ (principal) นิยามเมื่อ $x\ge0$ · รากที่ $n$ ($n$ คู่ต้อง $x\ge0$, $n$ คี่ได้ทั้งบวกลบ)
• เลขชี้กำลังเศษส่วน: $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ · $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ · เช่น $(-64)^{1/3}=-4$
• 🎯 ฐานลบ + เลขชี้กำลังเศษส่วนตัวส่วนคู่ (เช่น $(-9)^{1/2}$) → ไม่นิยาม · $0^0$, $0^{-n}$ ไม่นิยาม
• 🎯 ต้องแปลงฐานให้ตรงกันก่อนใช้กฎ (เช่น $32=2^5$)

บทที่ 5: ลำดับและอนุกรม (Sequences & Series)

• ลำดับ $a_1,a_2,\dots$ · พจน์ที่ $n$ = $a_n$
• เลขคณิต (ผลต่างร่วม $d$): $d=a_{n+1}-a_n$ · $a_n=a_1+(n-1)d$
• เรขาคณิต (อัตราส่วนร่วม $r$): $r=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ · $a_n=a_1r^{n-1}$ · 🎯 $r$ ลบ → พจน์สลับเครื่องหมาย
• ผลบวก $n$ พจน์แรก:
• เลขคณิต: $S_n=\frac n2(a_1+a_n)=\frac n2[2a_1+(n-1)d]$
• เรขาคณิต ($r\neq1$): $S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ · $r=1$: $S_n=na_1$
• หาพจน์จากผลบวก: $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n\ge2$), $a_1=S_1$ · เช่น $S_n=2n^2$ → $a_{100}=398$
• 🎯 ลำดับคงตัว ($a_n$=ค่าคงที่) เป็นทั้งเลขคณิต ($d=0$) และเรขาคณิต ($r=1$) พร้อมกัน
• 🎯 math2 ไม่มีอนุกรมอนันต์/ลิมิต ($S_\infty$ เป็นของ math1)

บทที่ 6: ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน (Interest & Value of Money)

• ดอกเบี้ยอย่างง่าย (คิดจากเงินต้นเดิม): $I=Prt$ · $F=P(1+rt)$ — เงินรวมเรียงเป็นลำดับเลขคณิต
• ดอกเบี้ยทบต้น (ดอกไปรวมเป็นต้น): $S=P(1+r)^n$ · ทบ $k$ ครั้ง/ปี: $S=P(1+\frac rk)^{kn}$ — เรียงเป็นลำดับเรขาคณิต
• มูลค่าปัจจุบัน: $P=S(1+\frac rk)^{-kn}$
• ค่างวด (annuity) $R$ ต่อ/งวด, $i=r/k$, $n$ งวด:
• เงินฝาก (future value): $S_n=R\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i}$
• เงินผ่อน (present value): $A_n=R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$
• 🎯 ค่างวดต้นงวด (annuity due) = ค่างวดปกติ $\times(1+i)$ — เงินทุกก้อนได้ทบเพิ่มอีก 1 งวด (TCAS68 ข้อ12, 69 ข้อ14)
• 🎯 ค่างวดเปลี่ยนจำนวนกลางทาง: แยกเป็นช่วงๆ คำนวณแล้วบวก — เงินก้อนแรกต้องทบยาวถึงงวดสุดท้ายทั้งหมด ไม่หยุดที่จุดเปลี่ยนอัตรา
• 🎯 แปลง $r\to r/k$ และ $n\to kn$ ให้ตรงหน่วยเวลาเสมอ — จุดพลาดบ่อย

บทที่ 7: ความน่าจะเป็น (Probability + หลักการนับ)

• หลักการบวก ("หรือ" แยกกรณี): $n_1+n_2$ วิธี · หลักการคูณ ("และ" ต่อเนื่อง): $n_1\times n_2$ วิธี
• การทดลองสุ่ม / ปริภูมิตัวอย่าง $S$ / เหตุการณ์ $E$ (สับเซตของ $S$)
• นิยาม: $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$ (ต้อง equally likely!) · $0\le P(E)\le1$ · $P(S)=1$ · $P(\varnothing)=0$
• กฎ: บวก $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ · ไม่เกิดร่วมกัน $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ · คอมพลีเมนต์ $P(A')=1-P(A)$ ("อย่างน้อยหนึ่ง…" ให้คิดกลับ)
• 🎯 "ไม่เกิดร่วมกัน" ($A\cap B=\varnothing$) ≠ "คอมพลีเมนต์" (ครอบคลุม $S$ ทั้งหมดพอดี)

7.1 จัดหมู่ (Combination) — ออกจริง TCAS68/69

• $C_{n,r}=\binom nr=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ — เลือก $r$ จาก $n$ ไม่สนใจลำดับ
• คำบอก: "เลือก/สุ่ม/แบ่งกลุ่ม/ไม่สนใจลำดับ" · ผสมบวก/คูณ: "และ"→คูณ, "หรือ"→บวก
• ตัวอย่าง TCAS69 ข้อ30: สุ่ม 3 จาก 10 (ช.7 ญ.3) ได้ชาย 2 หญิง 1 = $\frac{C_{7,2}C_{3,1}}{C_{10,3}}$

7.2 เรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น (Permutation) — ออกจริง TCAS65 ข้อ23

• เรียง $n$ สิ่งแตกต่างกัน = $n!$
• 🎯 ห้ามติดกัน: เรียงกลุ่มใหญ่ก่อน → ได้ช่องว่าง $n_2+1$ ช่อง → แทรกกลุ่มเล็ก (ช่องละ ≤1) → คูณ
• ให้ติดกัน: มัดเป็นก้อนเดียว (นับ 1 หน่วย) แล้วเรียงภายในก้อนด้วย
• ตัวอย่าง: กลุ่ม1 มี 3 คน กลุ่ม2 มี 4 คน ห้ามติดกัน = $4!\times(5\times4\times3)=1440$ วิธี
• 🎯 math2 ไม่มีสัญกรณ์ $P_{n,r}$ เป็นทางการ, วงกลม $(n-1)!$, ทวินาม, ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข (ของ math1)

บทที่ 8: สถิติ (Statistics)

• ประชากร vs ตัวอย่าง · พารามิเตอร์ ($\mu$) vs ค่าสถิติ ($\bar x$) · เชิงคุณภาพ (หาค่าเฉลี่ยไม่ได้) vs เชิงปริมาณ
• การสร้างตารางความถี่ (อันตรภาคชั้น): พิสัย $=x_{\max}-x_{\min}$ → ความกว้างชั้น $=\frac{\text{พิสัย}}{\text{จำนวนชั้น}}$ → 🎯 ปัดขึ้นเสมอ
• แผนภาพลำต้น-ใบ (stem-and-leaf): "2 | 1 5 8 8" = 21, 25, 28, 28
• ค่ากลาง: ค่าเฉลี่ย $\bar x=\frac{\sum x_i}{n}$ (ไวต่อ outlier) · มัธยฐาน (เรียงแล้วตัวกลาง) · ฐานนิยม (ความถี่สูงสุด, ใช้ได้ทั้ง 2 แบบ)
• การกระจาย: พิสัย · $IQR=Q_3-Q_1$ (ทน outlier) · ความแปรปรวนประชากร $\sigma^2=\frac{\sum(x_i-\mu)^2}{N}$ · ตัวอย่าง $s^2=\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}$ · $CV=\frac{s}{|\bar x|}$
• รวมกลุ่ม: $\bar x_{\text{รวม}}=\frac{n_1\bar x_1+n_2\bar x_2}{n_1+n_2}$ · $s^2_{\text{รวม}}=\frac{n_1[s_1^2+(\bar x_1-\bar x_{\text{รวม}})^2]+n_2[s_2^2+(\bar x_2-\bar x_{\text{รวม}})^2]}{n_1+n_2}$
• ตำแหน่งควอร์ไทล์ (ข้อมูลดิบ): ตำแหน่ง $Q_k=\frac{k(n+1)}4$ · จำนวนเต็ม = ค่าตรงนั้น · ไม่เต็ม = interpolate · $Q_1=P_{25}, Q_2=P_{50}$=มัธยฐาน, $Q_3=P_{75}$
• แผนภาพกล่อง (box plot): 5 ค่าสรุป ($x_{\min},Q_1,Q_2,Q_3,x_{\max}$) · ค่านอกเกณฑ์: ต่ำกว่า $Q_1-1.5\,IQR$ หรือสูงกว่า $Q_3+1.5\,IQR$
• 🎯 math2 ไม่มีตัวแปรสุ่ม/แจกแจงทวินาม-ปกติ/ค่า Z (ของ math1)

สรุปจุดตัด scope math2 (ต่างจาก math1)

• ตัด: ตัวบ่งปริมาณ $\forall\exists$ · ฟังก์ชันประกอบ/ผกผัน/1-1 · เลขชี้กำลังอตรรกยะ/ลอการิทึม · อนุกรมอนันต์/ลิมิต · $P_{n,r}$ ทางการ/วงกลม/ทวินาม/ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข · ตัวแปรสุ่ม/แจกแจง/ค่า Z
• มีเพิ่มเฉพาะ math2: ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน (ประยุกต์ลำดับเรขาคณิต) — ไม่มีใน math1